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换一种方式学习数学

孔凡哲（东北师范大学博士生导师、教授、博士）

如何学习初中数学?

对于这个简单的问题，很多同学一定会说，“这不容易吗？认真学习、刻苦学习呗”。

其实，不同的学习方式，往往会导致不同的学习结果。

在初中数学学习中，很多内容的学习，需要我们换个方式进行

正所谓，同样的学习内容，恰当的学习方式，往往能获得更为丰富的学习结果。

一、按照归纳的方式学习数学，不仅获得必需的基础知识、基本技能，而且还可以获得归纳的直接经验，提高归纳思维水平

问题：能否将代数式a²-b² 分解为两个代数式的乘积的形式呢？

我们该如何思考这个问题呢？

（1）我们不妨从最简单的情况入手：

令b=1，先讨论a²- 1的情形。

a²- 1能否分解为两个代数式乘积的形式呢？

我们尝试着借助自然数的分解来思考：

如果a=1，那么a²- 1= 1-1 = 0，0=0×0。结论很不明朗！

如果a=2，那么a²- 1= 4-1 = 3，3=1×3。结论仍不明朗！

继续试验，如果a=3，那么a²- 1= 9-1 = 8，而8除1和自身外，有两个因子2、4，而8的确可以拆成2×4，而2=3-1，4=3 1。结论已经开始明朗！

继续试验，如果a=4，那么a²- 1= 16-1 = 15，而15除1和自身外，只有两个因子3、5，而15的确可以拆成3×5，而且是唯一的，同时，3= 4 - 1，5= 4 1。结论更开始明朗！不过，还可以继续试一试。

继续试验，如果a=5，那么a²- 1= 25-1 = 24，而24除1和自身外，有6个因子2、3、4、6、8、12，虽然24的确可以拆成4×6，但是，并不是唯一的。结论迷茫了！再试一试。

继续试验，如果a=6，那么a²- 1= 36-1 = 35，而35除1和自身外，只有两个因子5、7，而35的确可以拆成5×7，而且是唯一的，同时，5=6-1，7=6 1。

到此时，我们可以做出猜测，

a²-1² =（a-1）（a 1），

并由此进一步猜测a²-b² =（a-b）（a b）。

（2）当b=2、3、4、5、6时，a²-b² =（a-b）（a b）是否成立呢？

我们还需要分别研究b=2,b=3,b=4,b=5,b=6的情况，比如，b=3的情形：

a²-3² ：如果a=4，那么a²- 9= 16-9 = 7，7=1×7=（4-3）×（4 3）。结论成立！

如果a=5，那么a²- 9= 25- 9= 16，16=2×8=（5-3）×（5 3）。结论也成立！但是，16也可以是4×4。

继续试验，如果a=6，那么a²- 6= 36-9 = 27，而27除1和自身外，最为简单的分解方式是3×9，而3=6-3，9=6 3。结论已经开始明朗！

继续试验，如果a=8，那么a²- 9= 64- 9= 55，而55=5×11=（8-3）×（8 3），而且是唯一的。结论更开始明朗！

因而，可以推断，当b=3时，a²-b²=（a-b）（a b）也是成立的。

（3）可以考虑b=4,b=5,b=6的情况，a²-b² =（a-b）（a b）也能成立。

最终，综合各种情况，得出，a²-b² =（a-b）（a b）。

至此，我们发现了一个新的公式a²-b² =（a-b）（a b）。而这个公式实际上是（a-b）（a b）=a²-b² 的逆用，即，

按照多项式乘法法则(a b)(m n)=am an bm bn，取m=a，n=-b，就可以得到（a-b）（a b）=a²-b²。而多项式乘法法则是可以左右逆用的。

这是否是多余的呢？

其实，许多似乎“多余”的学习环节，是为了让我们每一位同学都经历数学思考的过程，获得直接的经验和体验，建构真正的数学理解，最终形成良好的数学直观。

这种目的表现在数学学习中，就是让我们亲身经历数学概念的抽象过程、数学公式法则的推导过程，亲身经历算理的逐级抽象过程，亦即，这也是数学自身的需要。

其实，课堂学习不仅仅是获知的过程，更是发展我们自己的数学思维水平的过程，老师之所以尽量还原数学抽象的过程并使我们亲身经历这个过程，其深层次的目的在于，帮助我们积累直接的数学思考的经验，进而有效发展我们的数学抽象能力。

二、经常动手“做”，在做中体会数学的乐趣，获得良好的数学活动经验，逐步培养自己的数学直观能力

1．在“做”中获得理解性掌握

这里的“做”就是操作，主要是指行为的操作，而不仅仅是指思维的操作。这种操作是进行抽象的直接素材，一般是直接经验。这种操作的直接价值取向不是问题的解决，而是获得第一手的直接感受、体验和经验，亦即，在实际的外显操作活动中来自感官、知觉的经验。例如，折纸活动的经验：

如果一位同学亲身经历了如下活动，并且在活动中进行适当的反思、回味，那么，他对于“圆”概念的理解一定非常深刻：

将一张较软的纸对折，再对折；而后，不断对折，从第三次对折开始，每次对折的折痕都经过第一次、第二次折痕的交点；直到对折不能进行为止。将折出的扇形的多余部分撕掉，保证将折叠的每层纸都撕到，而且撕口线尽可能平整。将剩余的部分打开铺平，就得到一个近似于圆形的纸片。

在日常的数学学习中，老师平时常说的“让学生亲身经历操作的过程”就是期望我们获得这种操作的经验（属于直接经验）。

2．在“做”中深化理解

经常动手做，在做中体会数学的乐趣，不仅是为了获得良好的数学活动经验（特别是获得直接的操作经验），而且也能加深自己对基础知识、基本技能的理解和掌握。事实上，个体的基本活动经验是构建个人理解、形成理解性掌握不可或缺的重要素材。一方面，经验的获得时常可以促进、强化有关知识的理解和掌握。例如，“利用一张纸折出平行、垂直的一组线”的折纸活动，个活动可以深化对于平行、垂直概念的理解和认识。其中，具有折纸经验的同学对于“垂直”、平角与直角之间的关系的理解，往往是深刻的、准确的。再如：

用一张白纸折出一组平行线，并说明你是怎样思考的？你能说明你这出的折痕构成平行线的理由吗？

图1

如图1所示，将一张矩形的纸对折，得到一个折痕ab；在折痕上分别取点c，点d，过这点c、点d分别将纸对折，使得第一条折痕ab位于点c、点d两侧的部分重合；打开并将其铺平。

此时，纸上的过点c、d的两条折痕就是一组平行线。

事实上，第一条折痕ab是一条直线，沿其上的点c将折痕对折，等价于将过平角∠acd二等分，也就是，过点c的折痕相交成90⁰角，从而两条折痕互相垂直；同理，过d点的折痕也互相垂直。进而，第二条、第三条折痕互相平行。

从初中数学课堂教学实际来说，我们不少同学很有可能会说，“不用折叠了，最初的纸的两条相对的边缘线就是相互平行”，但是，这时，他很难说出其充分的理由，事实上，仅仅说“相邻的两条边缘线构成90度角”是不够的，因为这里的“90度角”是无法确认其真实性的。显然，这个例子侧重考察我们独立操作的经验、我们对垂直、平行的真正理解——容易想象，如果一位同学从来没有折纸的经历和体验，他是很难完成这道题的。

这也意味着，虽然不同的同学采用不同的操作方式方法，但是，我们必须清楚，不同的操作方式其背后的数学含量往往是不同的。

3．在“做”中可以为可持续发展奠基

经验是活动的派生物，对于那些技能性的学习内容而言，技能性的操作活动本身就可以积淀一些经验，而这些经验往往与相应的技能密不可分。例如，“利用一根绳子、一个粉笔头和一个图钉，在黑板上画出一个圆”的活动，可以深化对于圆的画图技能的理解和把握，其中，活动经验起主要作用。事实上，在积累“画圆”经验的过程中，最为核心的内容就是“要保持粉笔头与图钉之间的距离保持不变”，这恰恰是画圆技能的核心。

由亲身探究的经验，有可能派生出一种思维模式、思维方法。事实上，基本活动经验之中含有策略性的成分、方法模式性的成分，这些成分对于我们开展创新性活动具有十分重要的奠基作用，特别是，个体已有的关于归纳的活动经验，对于发现真理具有重要启迪作用。相比之下，如果个体已有经验之中不具备归纳的经验，那么，他只能习惯于演绎思维方式（即演绎思维的经验在发挥作用），让其发现新知几乎是不可能的，真理的发现毕竟靠归纳思维，而演绎思维的作用在于验证真理，通常所说的“一个人18岁之前没有独立思考过一个问题，没有经历发现问题、提出问题进而分析解决问题的全过程，长大以后成为创新人才几乎是不可能的”，正是说明“思考的经验”的作用和策略性经验的价值。

从学理上说，一个人创新能力的形成依赖于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。因而，有计划地获得有关归纳思维、演绎思维的基本活动经验，是培养创新人才所必需的，特别地，全面积累我们的基本活动经验，将有助于培养和提高我们的归纳思维、演绎思维的水平，进而，提高中小学人才培养的整体水平。

只有这样，我们才能更好地迎接未来的挑战、更好地把握未来，实现终生可持续发展。